Introducción a la lógica

¿Cuántas proposiciones compuestas diferentes se pueden expresar usando dos letras enunciativas? La pregunta no se refiere al número de enunciados compuestos diferentes que se pueden construir sino, más bien, al número de significados distintos que tienen tales enunciados. Por ejemplo, usando solamente los dos signos «A» y «¬» los enunciados diferentes que se pueden construir son infinitos:

A, ¬A, ¬¬A, ¬¬¬A, ¬¬¬¬A, …

Sin embargo, en esta secuencia infinita de enunciados distintos, todos los que tienen un número impar de signos de negación son lógicamente equivalentes y, asimismo, todos los que tienen un número par de signos de negación son lógicamente equivalentes. Hay, en este caso, infinitos enunciados, pero solo dos proposiciones.

Para responder a la pregunta acerca de las proposiciones recordemos que el significado de un enunciado está determinado por sus condiciones de verdad, de manera que los enunciados que resultan verdaderos y falsos juntamente en todos los casos posibles significan lo mismo. Por lo tanto, si son posibles los cuatro casos vv, fv, vf, ff de AB, habrá una proposición diferente para cada diferente forma de rellenar una columna de cuatro valores v y f en su tabla de verdad. Por ejemplo, si asignamos a los cuatro casos los valores v, v, v, y f obtenemos la disyunción de A y B; si asignamos los valores v, f, f y f obtenemos la conjunción; si asignamos f, v, f y v obtenemos la negación de A; y obtenemos el mismo B al asignar v, v, f y f.

En total, hay dieciséis columnas diferentes, es decir, dieciséis proposiciones distintas en una tabla de atribuciones veritativas de dos letras enunciativas:

La columna 1 representa la tautología, verdadera en todos los casos y expresada indistintamente mediante cualquiera de los enunciados

A v ¬A, B v ¬B, (A ^ B) v (¬A ^ B) v (A ^ ¬B) v (¬A ^ ¬B), …

La columna 16 representa la contradicción, falsa en todos los casos posibles y expresada mediante cada uno de los enunciados

A ^ ¬A, B ^ ¬B, (A v B) ^ (¬A v B) ^ (A v ¬B) ^ (¬A v ¬B), …

La proposición expresada mediante «A» está expresada por la columna 6, como así sus equivalentes

(A ^ B) v (A ^ ¬B), (A v B) ^ (A v ¬B), …

De modo similar, la proposición expresada mediante «B» está representada por la columna 4, y las negaciones de «A» y de «B» están representadas por las columnas 11 y 13 respectivamente. Observe que la tabla es simétrica respecto de la línea que separa las columnas 8 y 9 en el sentido de que las columnas situadas simétricamente a uno y otro lado de esa línea son una la negación de la otra, correspondiendo las v de una columna con las f de la otra y viceversa.

Si «A» significa que en el primer lanzamiento de una moneda sale cara y «B» significa que en el segundo lanzamiento sale cara, las expresiones más simples, en castellano y en la notación lógica, de las dieciséis proposiciones son las siguientes:

Cada una de las formas que hemos considerado de construir nuevos enunciados a partir de otros dados se denomina función de verdad. El valor de verdad del resultado está determinado por (es una función de) los valores de verdad de los enunciados que lo componen. Hasta ahora solo hemos previsto símbolos especiales para una selección muy reducida de tales funciones de verdad: el negador, para la función que aplicada a un único enunciado produce un enunciado con el valor de verdad opuesto; el conjuntor, para la función que aplicada a dos o más enunciados produce un enunciado que es verdadero si todos los componentes son verdaderos y falso en caso contrario; y el disyuntor, para la función que aplicada a dos o más enunciados produce un enunciado que es falso si todos los componentes son falsos y verdadero en caso contrario.

Como muestra la tabla anterior, cada una de las dieciséis funciones de verdad, dados dos enunciados, puede ser expresada mediante los paréntesis y los tres símbolos que ya manejamos. Es más, en virtud de las leyes de DeMorgan, simplemente con el negador y cualquiera de los otros dos, el conjuntor o el disyuntor, también es posible expresarlas.

No obstante, introduciremos dos nuevos símbolos especiales que son especialmente útiles en tanto expresan funciones veritativas que se corresponden con expresiones castellanas ampliamente utilizadas. La primera de estas conectivas se denomina bicondicional, «↔». Al escribir la doble flecha entre dos enunciados y encerrar el resultado entre paréntesis se obtiene un enunciado que es verdadero (falso) si los enunciados componentes tienen los mismos (diferentes) valores de verdad. Es decir, «(A↔B)» significa que «A» y «B» tienen el mismo valor de verdad: o ambos son verdaderos o ambos son falsos. Por lo tanto es equivalente a la expresión

(A ^ B) v (¬A ^ ¬B)

La frase castellana más próxima a expresar el bicondicional es

si y solo si

Por lo tanto, leeremos «(A↔B)» como «A si y solo si B». Otras formas de traducir el bicondicional en castellano son con las expresiones «A si B, y A solo si B» y «Si A entonces B, y si B entonces A».

La segunda conectiva se denomina condicional, «→». Al escribir la flecha entre dos enunciados y encerrar el resultado entre paréntesis se obtiene un enunciado que es verdadero si es falso el primer componente o si es verdadero el segundo componente. Por lo tanto, «(A→B)» es equivalente a

¬A v B

y a

¬ (A ^ ¬B).

En la segunda de estas formas se ve que la proposición condicional niega que el primer componente sea verdadero cuando el segundo es falso, y hasta ahí es comparable con la construcción castellana «si…entonces». Decir que

Si hoy llueve, lloverá torrencialmente

es, al menos en parte, negar que hoy lloverá sin llover torrencialmente.

Sin embargo hay razones para dudar de que la flecha transmita todo el sentido del condicional castellano. Muchos podrían afirmar que parte del significado de la construcción castellana «si… entonces» es afirmar alguna conexión real entre antecedente y consecuente, de manera que afirmar «si hoy llueve, lloverá torrencialmente» no es solo negar que hoy lloverá sin hacerlo torrencialmente, sino, además, negar que pudiera llover hoy sin hacerlo torrencialmente. No obstante hay un uso del «si» en castellano que se corresponde con el significado de la flecha, como cuando se dice

Si Hitler fue un estratega, Napoleón fue un fontanero

con objeto de comunicar expresivamente que Hitler no fue un estratega. Si «B» es falso, «A→B» tiene el mismo valor de verdad que «¬A». Así, al afirmar un condicional con un consecuente obviamente falso podemos, en efecto, negar el antecedente, y podemos hacer esto independientemente de que haya o no alguna conexión real entre el antecedente y el consecuente. Por lo tanto, al defender «si… entonces» como lectura de la flecha tenemos que insistir en que el antecedente y el consecuente se han de interpretar como enunciados declarativos independientes del contexto. Las ocasiones en las que podría decir «si A entonces B» son aquellas en las que yo no sé el valor de verdad ni de «A» ni de «B», pero en las que de alguna manera estoy seguro de que si de hecho «A» es verdadera, también lo es «B».

Otras formas de traducir el condicional en castellano son con las expresiones «si A, B» y «¬A a no ser que B». Tenga en cuenta que, aunque se pueda omitir el «entonces», el «si» siempre marca al antecedente, lo que precede a la flecha, incluso cuando en castellano se escriba primero el consecuente.

Decir que una colección de enunciados (las premisas) implican un enunciado (la conclusión) es decir que:

En ninguno de los casos de la tabla de atribuciones veritativas de las letras enunciativas son todas las premisas verdaderas cuando la conclusión es falsa.

Ejemplo. Las premisas «A v B» y «¬A» implican la conclusión «B».

Razón: En el único caso (caso 2) en el que ambas premisas son verdaderas, la conclusión también es verdadera. Por otra parte, las premisas «A → B» y «B» no implican la conclusión «A», porque hay un caso (de nuevo el caso 2) en el que ambas premisas son verdaderas, pero la conclusión es falsa: