Verdad y falsedad

“Toda proposición es verdadera o falsa; ninguna proposición es ambas cosas a la vez”. Una buena parte de la lógica se constituye en virtud de la mera aplicación reiterada de esta obvia afirmación. La atención se debe centrar sobre la verdad y la falsedad. No tenemos que preocuparnos del propósito con que se expresa una proposición (informar, engañar, entretener, …) ni de cómo el que habla sabe, ni de si lo sabe, que lo que él dice es verdad.

“Una casi verdad es una falsedad”. Una casi verdad es un cierto tipo de falsedad y, en lógica, una excepción es lo mismo que mil; no distinguimos grados de verdad o de falsedad. Puesto que en el mundo hay cuervos blancos es falso decir:

Todos los cuervos son negros

Puesto que los cuervos blancos son raros, es verdad decir:

Casi todos los cuervos son negros

 

Proposiciones y enunciados

Usamos enunciados para expresar proposiciones. El enunciado “No lo sé” expresa la proposición de que yo carezco de la información sobre la que se me pregunta. Pero los enunciados no son los únicos medios para expresar proposiciones. En circunstancias adecuadas, un encogimiento de hombros, un movimiento de cabeza o un silencio pueden cumplir esa tarea.

Con frecuencia el mismo enunciado puede ser usado para expresar diferentes proposiciones dependiendo del contexto en el que es proferido. El enunciado:

De todos los hombres de su tiempo que yo he conocido, él era el más sabio, el más justo y el mejor

es un enunciado muy dependiente del contexto. Cuando Fedón lo profiere al término del relato de la muerte de Sócrates, expresa la misma proposición que cualquiera expresaría al decir

De todos los hombres del tiempo de Sócrates que Fedón conoció, Sócrates era el más sabio, el más justo y el mejor.

Pero en otro contexto, por ejemplo Bruto ante la tumba de César, tal enunciado expresa una proposición diferente. ¿Cuál?

En lógica atribuiremos valores de verdad a enunciados independientes del contexto y a las proposiciones que expresan, es decir, enunciados que expresan proposiciones inequívocas. Por lo tanto solo nos ocuparemos de enunciados como “Las ballenas son mamíferos” o “Hay infinitos números primos”.

 

Conjunción, disyunción y negación

Para poner de manifiesto con claridad la estructura lógica, utilizaremos letras mayúsculas (A, B, C, etc.) para nombrar cada enunciado, y símbolos especiales como conectivas para formar enunciados compuestos a partir de los simples. Por ejemplo, si “R” significa que llueve (en un determinado lugar y momento), si “C” significa que hace frío (allí y entonces), y si “W” significa que hace viento (allí y entonces), la expresión

(R ^ C ^ W)

será un enunciado que significa que en el momento y lugar en cuestión

Llueve y hace frío y hace viento.

La expresión

(R v C v W)

será un enunciado que significa que en el momento y lugar en cuestión,

Llueve o hace frío o hace viento.

Y las expresiones

¬ R, ¬ C, ¬ W

serán los enunciados que significan que en el momento y lugar en cuestión,

No llueve, No hace frío, No hace viento.

Así pues, las conectivas

^, v, ¬

sirven para lo mismo que en castellano las palabras

y, o, no.

La conectiva “ ^ ” (el conjuntor) se denomina signo de conjunción, y un enunciado formado al escribir otros enunciados en los huecos de cualquiera de las expresiones siguientes se dice que es una conjunción:

( ^ ), ( ^ ^ ), ( ^ ^ ^ ), …

La conectiva “ v ” (el disyuntor) denominada signo de disyunción, se usa en forma semejante. Los enunciados formados al escribir enunciados en los huecos de cualquiera de las expresiones siguientes se dice que son disyunciones:

( v ), ( v v ), ( v v v ), …

Por último, la conectiva “ ¬ ” (el negador), se denomina signo de negación. Un enunciado formado al escribir el negador ante otro enunciado se dice que es una negación, la negación del enunciado que sigue al negador.

 

Interpretación de las conectivas

Puesto que cada una de las palabras “y”, “o” y “no” tiene en castellano diversos usos es conveniente ser absolutamente explícitos sobre las interpretaciones de las correspondientes conectivas de nuestra notación.

El uso de “y”, que se corresponde con nuestro conjuntor (“ ^ ”), se puede describir así: cuando se escribe “y” entre enunciados adyacentes de una secuencia de dos o más enunciados, el resultado es un enunciado que es verdadero si todos los enunciados de la secuencia original son verdaderos, y que es falso si alguno de ellos es falso. Por ejemplo, el enunciado “(A ^ B ^ C)” es verdadero en el caso en que los enunciados “A”, “B” y “C” son todos verdaderos, y es falso en cada uno de los siete restantes casos de la tabla de verdad de “A”, “B” y “C”:

	A	B	C	(A ^ B ^ C)
Caso 1	verdadero	verdadero	verdadero	verdadero
Caso 2	falso	verdadero	verdadero	falso
Caso 3	verdadero	falso	verdadero	falso
Caso 4	falso	falso	verdadero	falso
Caso 5	verdadero	verdadero	falso	falso
Caso 6	falso	verdadero	falso	falso
Caso 7	verdadero	falso	falso	falso
Caso 8	falso	falso	falso	falso

De manera análoga, las propiedades lógicas del símbolo “ v “ (el disyuntor) se corresponden con las de la palabra “o” y pueden quedar recogidas mediante tablas de verdad. Leyendo el disyuntor como “o” vemos claramente que “(A v B)” es falso cuando por separado “A” y “B” son ambos falsos y es verdadero cuando una letra es verdadera y la otra falsa:

A	B	(A v B)
verdadero	verdadero
falso	verdadero	verdadero
verdadero	falso	verdadero
falso	falso	falso

Pero ¿cuál es el valor de verdad de “(A v B)” en el primer caso, cuando “A” y “B” son ambos verdaderos?

Si el disyuntor es simplemente una traducción del “o” castellano somos libres de responder a la cuestión como queramos, ya que en este punto el castellano es ambiguo. Unas veces “o” se usa en un sentido exclusivo, como por ejemplo cuando se dice a un niño que él puede tomar un bombón o un helado. En este caso se sobreentiende tácitamente la cláusula “pero no ambos”. Pero, en general, cuando se escribe “o” entre enunciados declarativos se entiende que el enunciado compuesto resultante es verdadero si uno de los dos o ambos enunciados que acompañan a “o” son verdaderos. El latín proporciona dos palabras para los dos sentidos de “o”: aut para el sentido exclusivo (“pero no ambos”) y vel para el sentido inclusivo (“o tal vez ambos”). Usamos el símbolo “ v “ (reminiscencia de vel) en el sentido inclusivo, de manera que el hueco en la anterior tabla de verdad ha de ser rellenado con “verdadero”.

Las propiedades lógicas del negador (“ ¬ “) son: la operación de anteponer un negador da lugar a un enunciado que es verdadero (falso) si el enunciado que sigue al negador es falso (verdadero). Al anteponer un negador las verdades se transforman en falsedades y las falsedades en verdades. Así, el negador es la traducción de la frase castellana “no es cierto que” y tiene la tabla de verdad siguiente:

A	¬ A
verdadero	falso
falso	verdadero

 

Reglas de formación y valuación

Los paréntesis se usan en las conjunciones y disyunciones para indicar los agrupamientos, tal como se usan en álgebra, donde la expresión ambigua

x + y · z

se resuelve en una de las dos expresiones inambiguas

x + (y · z), (x + y) · z

mediante la introducción de paréntesis. Para evitar ambigüedades en nuestra notación, convenimos encerrar todas las conjunciones y disyunciones entre paréntesis. Por ejemplo, la diferencia entre las expresiones

¬ (A ^ B), (¬A ^ B)

es la diferencia entre la negación de una conjunción y la conjunción de dos términos, uno de los cuales ocurre que es la negación de un enunciado.

 

Reglas de formación

Cada una de las letras enunciativas “A”, “B”, …, “Z” se considera un enunciado. Además se obtienen enunciados mediante las siguientes operaciones:

1. Negación: anteponer un negador a un enunciado.

2. Conjunción: poner conjuntores entre enunciados adyacentes de una secuencia de dos o más enunciados y encerrar el resultado entre paréntesis.

3. Disyunción: poner disyuntores entre enunciados adyacentes de una secuencia de dos o más enunciados y encerrar el resultado entre paréntesis.

Nuestras reglas para determinar los valores de verdad de enunciados compuestos se pueden resumir de modo paralelo:

 

Reglas de valuación

1. Una negación es verdadera (falsa) si el enunciado que se obtiene al eliminar el negador es falso (verdadero).

2. Una conjunción es verdadera si todos sus componentes son verdaderos y es falsa si alguno de sus componentes es falso.

3. Una disyunción es verdadera si alguno de sus componentes es verdadero y es falsa si todos sus componentes son falsos.

No damos ninguna regla para evaluar letras enunciativas; sus valores de verdad están determinados por las circunstancias reales, que quedan fuera del dominio de la lógica. Sin embargo, dados los valores de verdad de todas las letras que ocurren en un enunciado, el valor de verdad del enunciado completo está determinado por nuestras reglas de valuación. Como ejemplo, considere el enunciado que (una vez eliminados los paréntesis exteriores) se escribe

¬ R v W.

Este se corresponde con el enunciado castellano

O no llueve o hace viento.

Puesto que hay dos letras enunciativas hay cuatro casos posibles:

R	W	¬ R	(¬ R v W)
verdadero	verdadero	falso	verdadero
falso	verdadero	verdadero	verdadero
verdadero	falso	falso	falso
falso	falso	verdadero	verdadero

De acuerdo con la regla de valuación de la negación, el enunciado “¬ R” tiene valores de verdad opuestos a los del enunciado “R”. Esto nos proporciona la tercera columna. Y de acuerdo con la regla de la disyunción, el enunciado “(¬ R v W)” es verdadero si uno de sus componentes, “¬R” o “W”, es verdadero y falso sólo si ambos componentes son falsos. Así se obtiene la cuarta columna a partir de la tercera y la segunda.