Árboles de verdad

Decir que ciertas premisas implican una conclusión es negar que quepa encontrar un caso en el que todas las premisas sean verdaderas pero la conclusión sea falsa. Tal caso se denomina contraejemplo. Decir entonces que las premisas

A → ¬B

¬C → A

implican la conclusión

B → C

es decir que ninguno de los ocho casos de la tabla de atribuciones veritativas de las letras «A», «B» y «C» es un contraejemplo: ninguno de ellos hace verdaderas a ambas premisas al mismo tiempo que hace a la conclusión falsa.

La forma más directa de verificar tal afirmación es calcular los valores de verdad de ambas premisas y de la conclusión en cada uno de los ocho casos y entonces comprobar que las premisas nunca son ambas verdaderas cuando la conclusión es falsa. Pero dado que el número de casos se duplica cada vez que se introduce una nueva letra enunciativa, la forma más directa puede ser extremadamente laboriosa.

Un ejemplo

Sirviéndonos de un pequeño artificio podemos reducir considerablemente la tarea; lo que se busca es una forma de eliminar grupos enteros de casos de una sola vez. Una técnica sistemática de este tipo nos la proporciona el método de los árboles de verdad que ahora se explicará. Como ejemplo recurrimos a la inferencia ya mencionada:

A → ¬B

¬C → A

_______

B → C

El árbol de verdad de esta inferencia es el siguiente:

Primer paso. El primer paso en la construcción de este árbol ha sido registrar las premisas y la negación de la conclusión. Los contraejemplos son los casos en los que estos tres enunciados son verdaderos. Queremos comprobar si existen tales casos. Esto explica las líneas 1, 2 y 3.

Segundo paso. No es relevante cuál de las líneas 1, 2 o 3 examinamos primero. Empecemos por la línea 3. Cualquier contraejemplo tiene que hacer a esta línea verdadera. Por consiguiente, tiene que hacer a «B → C» falso, y esto sucederá si y solo si «B» es verdadero y «C» es falso. Indicamos esto escribiendo «B» y «¬C» como líneas 4 y 5 del árbol. En este momento también marcamos (Ѵ) la línea 3 para indicar que hemos tenido en cuenta todas las posibles formas en que puede ser verdadero. El procedimiento puede quedar recogido mediante la siguiente regla de inferencia, en la que el círculo y el triángulo representan enunciados cualesquiera.

Tercer paso. Atendamos a continuación a la línea 1. Cualquier contraejemplo tiene también que hacer a esta línea verdadera. Aquí la regla de inferencia pertinente es ésta:

En palabras: los casos en los que un condicional es verdadero son aquéllos en los que su antecedente es falso junto con aquéllos en los que su consecuente es verdadero. (Algunos casos caen bajo ambas categorías, pero eso no supone ninguna dificultad).

La bifurcación en la regla del condicional tiene entonces el sentido de «o»: un condicional O → ∆ es verdadero si y solo si o su antecedente O es falso o su consecuente ∆ es verdadero (o ambas cosas). Examinamos y marcamos entonces la primera línea del árbol e introducimos una bifurcación en su parte inferior (después de la línea 5) poniendo «¬A» (negación del antecedente) en la rama izquierda y «¬B» (el consecuente) en la rama derecha. Esto da cuenta de todas las posibles formas en que la línea 1 podría ser verdadera.

Cuarto paso. Recorriendo hacia abajo el árbol tenemos ahora en la rama derecha los siguientes enunciados:

A → ¬B,      ¬C → A,      ¬(B → C),      B,      ¬C,      ¬B

Pero dos de estos enunciados se contradicen entre sí: «B» y «¬B». La rama de acuerdo con esto se dice que está cerrada, e indicamos este hecho marcándola con un aspa ( X ) bajo su última línea «¬B». Una rama cerrada es aquella que contiene un enunciado junto con su negación. Es imposible que todos los enunciados de una rama cerrada sean verdaderos.

Quinto paso. Solo queda que nos ocupemos de la línea 2. Cualquier contraejemplo tiene que hacer a esta línea verdadera lo mismo que a las líneas 1 y 3. Puesto que la línea 2 es un condicional, «¬C→A», la tratamos como fue tratada en la línea 1 en el tercer paso. Ahora, el círculo representa a «¬C» y el triángulo representa a «A». Al aplicar la regla, abrimos una bifurcación en la parte inferior de cada una de las ramas abiertas que contienen al enunciado examinado, poniendo «¬¬C» (¬ O) en la rama izquierda y «A» (∆) en la rama derecha:

Pero dado que dos negaciones se anulan entre sí, omitimos los dos negadores. Esto nos proporciona la línea 7.

Último paso. Ignorando la rama que ya hemos marcado « X », hay de arriba a abajo en el árbol dos ramas. Ambas están cerradas: la rama izquierda contiene a la vez «C» y «¬C», mientras que la otra contiene a la vez «A» y «¬A». De acuerdo con esto marcamos ambas ramas con un aspa.

Todas las ramas están ahora cerradas. El árbol mismo se dice entonces que está cerrado y se ha descubierto que la inferencia es válida. ¿Por qué? Porque las dos reglas de inferencia han sido diseñadas de tal manera que cuando examinamos un enunciado exhibimos todas las posibles formas en que ese enunciado puede ser verdadero. Las diferentes ramas que atraviesan el árbol representan entonces las diferentes posibles formas en que los enunciados iniciales podrían ser todos verdaderos, y cada una de tales posibilidades está representada por alguna rama. Si una rama está cerrada, entonces las «posibilidades» que ella representa realmente no existen. Si todas las ramas están cerradas es imposible que todos los enunciados iniciales del árbol sean verdaderos: no hay ningún contraejemplo.

En contraposición, observe qué sucede cuando examinamos una inferencia inválida como la siguiente, en la que la conclusión no está realmente implicada por las premisas

A → B

     ¬ A

_______

      B

Aquí tenemos un árbol en el que una rama está abierta:

 

La rama abierta representa un contraejemplo, es decir, un caso en el que ambas premisas son verdaderas al mismo tiempo que la conclusión es falsa. Para ver qué caso es este, observe qué letras enunciativas aparecen, con o sin negadores, en la rama abierta:

¬A,     ¬B

El contraejemplo es el caso en que «A» y «B» son ambos falsos. En ese caso, en efecto, «A → B» y «¬ A» (las premisas) son ambos verdaderos, y «B» (la conclusión) es falso:

		premisas		conclusión
A	B	A → B	¬ A	B
v	v	v	f	v
f	v	v	v	v
v	f	f	f	f
f	f	v	v	f

Ahora aplique el método a las inferencias siguientes. Las soluciones se dan a continuación. Obtendrá uno u otro árbol dependiendo del orden de las reglas de inferencia que utilice para examinar los enunciados, pero la respuesta siempre será la misma. Los árboles que se ofrecen como soluciones son los que se obtendrá si examina primero la negación de la conclusión y después las premisas por orden, de arriba a abajo.

Ejemplos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Soluciones

Observe que si una rama está todavía abierta una vez que han sido examinadas todas las fórmulas que contienen flechas, la inferencia es inválida, ya que cada rama abierta representa a una clase de contraejemplos. Así, en el ejemplo e, la rama derecha representa a una clase de contraejemplos que consta de todos los casos en los que «A» es falso y «B» es verdadero.

Desde un punto de vista estratégico es conveniente examinar las negaciones de condicionales antes de examinar los condicionales. Es decir, ¬(O → ∆) antes que O → ∆. Esto evita bifurcaciones innecesarias del árbol. El método, sin embargo, es eficaz sin importar en qué orden se aplican las reglas de inferencia.

Ejemplos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Soluciones

Reglas de inferencia

Hasta ahora, nuestro método solo es aplicable a inferencias en las que las únicas conectivas que aparecen son «¬» y «→». Sin embargo podemos fácilmente extenderlo de manera que se aplique a enunciados en los que puedan aparecer cualquiera de las conectivas que hemos visto. Para cada conectiva simplemente tenemos que elaborar dos reglas de inferencia en la forma siguiente:

Tenga en cuenta que las reglas de inferencia no se han de aplicar a las partes de los enunciados, sino solamente a los enunciados enteros. No obstante, el valor de verdad de un enunciado está determinado por los valores de verdad de sus subenunciados. Los árboles crecen en la medida en que los enunciados son examinados y marcados (indicando que posteriormente éstos pueden ser ignorados), y las formas en que éstos pueden ser verdaderos se indican mediante la adición de enunciados en la parte inferior de las ramas abiertas, como se indica en las reglas de inferencia. Cuando todos los enunciados han sido examinados y marcados, cada rama abierta que atraviesa el árbol representa a una clase de contraejemplos: casos en los que todos los enunciados hasta la parte superior son verdaderos. Entonces, si hay alguna rama abierta, la inferencia es inválida. Y si no hay ninguna, la inferencia es válida, ya que como todo enunciado está examinado y marcado, todas las formas en que podría ser verdadero han sido tenidas en cuenta por los enunciados añadidos en las partes inferiores de las ramas abiertas, en la forma indicada por las reglas de inferencia.

Recuerde que las reglas se pueden aplicar en cualquier orden, pero ordinariamente es mejor empezar con las reglas que no entrañan bifurcación. Las dos reglas de cada conectiva se justifican mediante la consulta de la tabla de verdad de esa conectiva.