Equivalencia lógica

“No es cierto que no lloverá” es una forma complicada de decir que lloverá. Los enunciados

A, ¬¬A

expresan la misma proposición, es decir, son lógicamente equivalentes. Del mismo modo los siguientes enunciados son también lógicamente equivalentes:

¬ (A ^ B), ¬A v ¬B

Por ejemplo, “no lloverá y nevará a la vez” es otra forma de decir que o bien no lloverá o bien no nevará. Para comprobar que esto es así construya las tablas de verdad de los dos enunciados y observe que tienen las mismas condiciones de verdad:

A	B	(A ^ B)	¬ (A ^ B)	¬A	¬B	¬A v ¬B
verdadero	verdadero	verdadero	falso	falso	falso	falso
falso	verdadero	falso	verdadero	verdadero	falso	verdadero
verdadero	falso	falso	verdadero	falso	verdadero	verdadero
falso	falso	falso	verdadero	verdadero	verdadero	verdadero

La columna de valores “verdadero” y “falso” es la misma para los dos enunciados y, por consiguiente, los dos enunciados tienen el mismo valor de verdad. Las circunstancias en las que sería verdadero un enunciado son circunstancias en las que también sería verdadero el otro, y las circunstancias en las que sería falso uno de ellos son circunstancias en las que también sería falso el otro. De manera análoga se puede demostrar mediante tablas de verdad que “A” y “¬¬A” son lógicamente equivalentes:

A	¬A	¬¬A
verdadero	falso	verdadero
falso	verdadero	falso

Puesto que las columnas bajo “A” y “¬¬A” son iguales, estos enunciados tienen el mismo valor de verdad y son lógicamente equivalentes. Definimos, por tanto, la equivalencia lógica del siguiente modo:

Dos enunciados son lógicamente equivalentes si y sólo si tienen los mismos valores de verdad en todos los casos de la tabla de atribuciones veritativas de las letras enunciativas que aparecen en ellos.

Ya nos hemos servido de esta definición para verificar la equivalencia lógica del siguiente par de enunciados:

2.1   A, ¬¬A      (Ley de doble negación)

Y también nos hemos servido de ella para verificar la equivalencia lógica del primero de los dos siguientes pares:

2.2   ¬ (A ^ B), ¬A v ¬B

2.3   ¬ (A v B), ¬A ^ ¬ B      (Leyes de DeMorgan)

Para verificar la equivalencia lógica del segundo par 2.3 halle los valores de verdad de los dos enunciados con la ayuda de la tabla ordinaria de casos, es decir, con verdadero verdadero, falso verdadero, verdadero falso y falso falso como valores sucesivos de AB, y observe que ambos enunciados asumen en los cuatro casos los mismos valores falso, falso, falso y verdadero. La equivalencia lógica del par 2.3 queda ilustrada por el hecho de que el enunciado “no es cierto que o lloverá o nevará” (o “ni lloverá ni nevará”) tiene el mismo valor veritativo que el enunciado “no lloverá y no nevará”.

Leyes de equivalencia y simplificación 

En sentido estricto, la equivalencia lógica del par 2.1 es sólo una ilustración de la ley de doble negación, la cual dice que:

Cualquier enunciado que comience por un par de negadores (“¬¬”), tal vez seguidos por más negadores, es lógicamente equivalente al enunciado que se obtiene al eliminar el primer par de negadores.

Ejemplo: “¬¬¬ (A v ¬B)” es lógicamente equivalente a “¬ (A v ¬B)”.

De modo similar, los pares 2.2 y 2.3 sólo ilustran las leyes de DeMorgan que, en términos generales, se pueden definir como sigue:

La negación de una conjunción (disyunción) es lógicamente equivalente a la disyunción (conjunción) de las negaciones de los componentes.

Ejemplo: La conjunción negada

¬ (¬A ^ (A v ¬B) ^ ¬B)

es lógicamente equivalente a la disyunción

¬¬A v ¬ (A v ¬B) v ¬¬B

y el segundo componente de esta disyunción es lógicamente equivalente a la conjunción “(¬A ^ ¬¬B)”. Sustituyendo equivalentes por equivalentes encontramos que la disyunción es lógicamente equivalente a

¬¬A v (¬A ^ ¬¬B) v ¬¬B

y eliminando los dobles negadores obtenemos

A v (¬A ^ B) v B

como enunciado lógicamente equivalente a la conjunción negada inicial. Por lo tanto

Cuando un componente de un enunciado es reemplazado por algo lógicamente equivalente a él, el enunciado completo resultante es lógicamente equivalente al enunciado completo inicial.

Este proceso de simplificación se puede llevar todavía más lejos pues, tal como se puede comprobar mediante la prueba de la tabla de verdad, la conjunción negada inicial que acabamos de considerar es lógicamente equivalente a “A v B”. Ese es el modo más directo de verificar esta afirmación, pero si hemos de descubrir la versión más simple por medio de simplificaciones sucesivas de una más compleja necesitamos más leyes. Las leyes de DeMorgan y la ley de doble negación nos han conducido desde

¬ (¬A ^ (A v ¬B) ^ ¬B)

hasta

A v (¬A ^ B) v B.

Necesitamos dos leyes más para llegar sucesivamente hasta

A v B v B

y finalmente a

A v B.

La primera de estas leyes queda ilustrada por los pares equivalentes

2.4   A v (¬A ^ B), A v B

2.5   ¬A v (A ^ B), ¬A v B      (Ley de absorción)

La ley de absorción nos permite simplificar una disyunción que tiene como uno de sus componentes una conjunción siempre que algún componente de la disyunción difiera de algún componente de la conjunción solamente por la presencia o ausencia de un negador. En tal caso la ley nos permite eliminar el componente de la conjunción. Por ejemplo, el enunciado “¬A” puede ser eliminado de la disyunción “A v (¬A ^ B) v B” para obtener una disyunción equivalente más simple: “A v B v B”. En este caso se sobreentiende que el proceso de eliminación de ¬A incluye la supresión del conjuntor que le acompaña y de los paréntesis.

Como nuevo ejemplo observe que dos aplicaciones de la ley de absorción muestran que los enunciados siguientes son lógicamente equivalentes:

(A ^ B ^ ¬C ^ D) v ¬B v C, (A ^ D) v ¬B v C

Advierta, sin embargo, que la ley de absorción no nos permite eliminar ni “A” ni “¬A” en el enunciado “(A ^ B) v (¬A ^ C), porque ni “A” ni “¬A” son componentes inmediatos de la disyunción.

Por lo tanto, la ley de absorción dice, por ejemplo, que

O llueve, o nieva pero no llueve

es simplemente una forma complicada de decir

O llueve, o nieva.

Es fácil verificar que estos enunciados son lógicamente equivalentes mediante la prueba de la tabla de verdad:

	R	S	R v (S ^ ¬R)	R v S
Caso 1	verdadero	verdadero	verdadero	verdadero
Caso 2	falso	verdadero	verdadero	verdadero
Caso 3	verdadero	falso	verdadero	verdadero
Caso 4	falso	falso	falso	falso

Analizando las atribuciones veritativas de la tabla de verdad de los dos enunciados queda patente que ambos son lógicamente equivalentes.

Finalmente, para acabar con la simplificación anterior, el paso desde “A v B v B” hasta “A v B” queda justificado por el siguiente principio:

Un componente de una disyunción, si es repetición de otro componente, puede ser eliminado; y lo mismo ocurre respecto de las conjunciones.

Podemos llamarlo “ley de redundancia”. La ley nos permite eliminar una ocurrencia de “B” en “A v B v B” o en “A ^ B ^ B”, pero no en “(A ^ B) v B”, donde ninguna ocurrencia de “B” es un componente de la disyunción que repita otro componente inmediato de la disyunción.

En el análisis de la ley de absorción hemos destacado un principio que merece tener un nombre propio: “la ley de expansión”. La ley de expansión dice que cualquier enunciado “A” puede ser expandido en la forma lógicamente equivalente “(A ^ B) v (A ^ ¬B)”, en la que se distinguen dos casos de verdad de “A”, según el otro enunciado “B” sea verdadero o falso:

2.6   A, (A ^ B) v (A ^ ¬B)      (Ley de expansión)

Otros dos principios merecen ser señalados. El primero, ilustrado por la equivalencia lógica de los enunciados

2.7   A v B v C, (A v B) v C, A v (B v C)

es la ley asociativa:

Cuando en una conjunción o en una disyunción se cambia el agrupamiento se obtiene un enunciado lógicamente equivalente.

Por ejemplo, son innecesarios los paréntesis en el enunciado

(A ^ B) ^ (C ^ D) ^ E

aunque son necesarios en el enunciado

(A ^B) v (C ^ D) v E

Un principio igualmente obvio es la ley commutativa:

Cuando en una conjunción o en una disyunción se cambia el orden de los componentes se obtiene un enunciado lógicamente equivalente.

Así, “A v B” y “B v A” son lógicamente equivalentes de igual manera que “A ^ B ^ C” y “B ^ A ^ C”.

Algo menos obvias son las leyes distributivas, análogas a la ley de la aritmética

x · (y + z) = (x · y) + (x · z)

De acuerdo con estas leyes, los enunciados

2.8   A ^ (B v C), (A ^ B) v (A ^ C)

son lógicamente equivalentes y los enunciados

2.9   A v (B ^ C), (A v B) ^ (A v C)

son también lógicamente equivalentes. De acuerdo con 2.8, el enunciado

Llueve y, o nieva o hace viento

es lógicamente equivalente al enunciado

Llueve y nieva, o llueve y hace viento.

De acuerdo con 2.9, el enunciado

Llueve, o nieva y hace viento

es lógicamente equivalente al enunciado

Llueve o nieva, y llueve o hace viento.

Tautologías y contradicciones

Hemos visto en el caso de la ley de expansión que dos enunciados pueden ser lógicamente equivalentes aunque uno contenga una letra enunciativa que el otro no contiene. La letra enunciativa “B” en “(A ^ B) v (A ^ ¬B)” es superflua y en nada contribuye al sentido del todo. Decir que

2 + 2 = 4 y llueve, o 2 + 2 = 4 y no llueve

es decir algo acerca de los números, pero nada acerca del tiempo. Podríamos igualmente bien haber dicho simplemente que

2 + 2 = 4.

Una versión más radical de esta misma observación se aplica al par

2.10   A v ¬A, B v ¬B      (Ley de la tautología)

Estos enunciados son lógicamente equivalentes aunque no tengan letras enunciativas comunes. Uno y otro resultan verdaderos en todos los casos posibles de la tabla de atribuciones veritativas de “A” y “B”.

A	B	A v ¬A	B v ¬B
verdadero	verdadero	verdadero	verdadero
falso	verdadero	verdadero	verdadero
verdadero	falso	verdadero	verdadero
falso	falso	verdadero	verdadero

Los enunciados “A v ¬A” y “B v ¬B” son verdades lógicas o tautologías, puesto que son verdaderos en todos los casos de la tabla de atribuciones veritativas de las letras enunciativas. Para saber que cualquiera de ellos es verdadero no se requiere saber cuál es el caso real. Decir que uno de ellos es verdadero es no decir nada que no supiéramos ya. En particular, el enunciado

Llueve o no llueve

no da ninguna noticia acerca del tiempo o de cualquier otra cosa, y el enunciado

2 + 2 = 4 ó 2 + 2

no proporciona más información sobre los números que sobre el tiempo, ya que no proporciona en absoluto ninguna información. El primero de estos trata solo aparentemente del tiempo, y el segundo trata también solo aparentemente de los números.

El caso es semejante para el par lógicamente equivalente

2.11   A ^ ¬A, B ^ ¬B      (Ley de contradicción)

de falsedades lógicas o contradicciones. Puesto que cada uno de estos resulta falso en todos los casos de la tabla de atribuciones veritativas de las letras enunciativas, son lógicamente equivalentes. Para saber sus valores de verdad no se requiere saber nada acerca del tiempo o de los números o de cualquier otra cosa, ni tampoco se requiere saber qué significan las letras “A” y “B”. El enunciado

Llueve y no llueve

solo aparentemente trata del tiempo. Lo mismo que el enunciado

2 + 2 = 4 y 2 + 2

solo aparentemente trata de números. De hecho, los dos enunciados tienen exactamente las mismas condiciones de verdad: en todos los casos posibles ambos son falsos.